Томас Мург родился 14 ноября  1994 в городе Фойтсберг, Австрия и в возрасте шести лет поступил в академию Бербаха, где оставался до 2010, проведя недолгий срок и в «Штурм» Грац.

После этого он переехал в «Грацер Атлетик-Клуб», за который совершил свой профессиональный дебют в 2010. Там он провел два года, насчитав 49 матчей и 13 голов в младших категориях чемпионата Австрии, прежде чем сделать большой шаг и перейти в «Аустрию» Вена.

За «Аустрию» он сыграл в 19 матчах, забил 2 гола, находясь между первой и второй командой, и завоевал чемпионат сезона 2012-13.

В 2014 Томас перебрался в «Рид», где и наступил его игровой прорыв. За два сезона австрийский футболист записал в актив 44 поединка, 8 голов и 6 результативных передач, зарекомендовав себя одним из лучших полузащитников первенства страны.

В январе 2016 венский «Рапид» приобрел его на правах трансфера. Мург сразу обрел свое место в команде и выполнял ключевую роль в игровом подъеме команды в последние годы.

Всего в футболке «Рапида» он провел 163 матча, 35 раз поразил ворота соперника и отдал 40 голевых передач.