Маркос Веллидис родился 4 апреля 1987 в местечке Корисос, Касторья. В возрасте 18 лет он подписал свой первый профессиональный контракт с «Панатинаикосом», но выступать за него ему так и не довелось. После нескольких матчей за молодежную команду «зеленых» футболиста отдали в аренду в «Коропи», за который он провел 17 матчей в сезоне 2006-2007.

На следующий год он выступал во 2-й национальной лиге за «Диагора» Родос. Летом 2008 островитяне приобрели его как свободного агента и Веллидис пробыл на Родосе до 2010, сыграв 55 поединков.

Следующим шагом стало приглашение от «Ариса». Там он оставался в течение одного года в тени Михалиса Сифакиса, затем завоевал место в основе и два года защищал ворота команды, показав великолепную игру в некоторых матчах.

В июне 2013 он стал свободным агентом и ПАС Янина одержал верх в гонке за… его приобретение. В Эпире вратарь совершил невероятный скачок и вошел в элиту греческих вратарей, а затем поступил и вызов в сборную. Серхио Маркарян выпустил его на замену 16 июня 2015 в матче против сборной Польши.