Бркич родился 9 июля 1986 в Нови-Сад, СФРЮ и делал свои первые шаги в футболе в академии местного клуба, прежде чем перейти в «Воеводину». В 2005 был арендован в «Пролетер», в котором провел 31 матч.

В 2007 он вернулся в «Воеводину» и стал основным вратарем команды до 2011, когда решил попробовать свои силы в «Удинезе», но через аренду в «Сиену».

Футболист сохранил свои ворота в неприкосновенности в дебютном матче в Серии А, 11 сентября 2011 против «Катаньи». Отыграв 11 поединков, он получил травму в декабре того же года и выбыл на долгое время.В январе 2012 он снова оказался в «Удинезе» на правах свободного агента и после ухода Хандановича в «Интер» стал основным голкипером на два последующих сезона. В январе 2014 его отдали в аренду в «Кальяри», за которую он провел 21 матч.В минувшем сезоне он отыграл 7 поединков за «Карпи».

Выступал за сборную Сербии U-21 (12 матчей) и дебютировал в основной команде своей страны 3 марта 2010, выйдя на замену во встрече с Алжиром. Сыграл 12 раз за национальную сборную.

За два дня до своего дня рождения вратарь подписал с ПАОК контракт на три года.