Γεννήθηκε στις 14 Απριλίου του 1989 στο Ούζιτσε της Σερβίας. Το… μικρόβιο του ποδοσφαίρου το κόλλησε από τον πατέρα του, φανατικό οπαδό της Παρτιζάν. Μεγάλωσε σ’ ένα… ασπρόμαυρο σπίτι κι από νεαρή ηλικία θέλησε κι ο ίδιος ν’ ασχοληθεί με το άθλημα.

Τα πρώτα του βήματα έγιναν στην τοπική Σλόμποντα. Τα ραντάρ της Παρτιζάν τον εντόπισαν το 2005 και τα όνειρα του Ζίβκο άρχισαν να γίνονται πραγματικότητα, καθώς εντάχθηκε στις ακαδημίες του συλλόγου.

To 2007 πήρε προαγωγή για την πρώτη ομάδα και υπέγραψε το πρώτο του επαγγαλματικό συμβόλαιο. Ο δρόμος προς την καθιέρωση, όμως δεν ήταν στρωμένος με ροδοπέταλα.

Παραχωρήθηκε δανεικός στην Τελεόπτικ. Επέστρεψε για να ξαναφύγει, αυτή τη φορά για την Μέταλατς Γκόρνι Μιλάνοβτας, με την οποία τη σεζόν 2008-09 πανηγύρισε την άνοδο στη μεγάλη κατηγορία και την επόμενη κέρδισε την παραμονή, όντας βασικό στέλεχος.

Η επιστροφή στο Βελιγράδι τον βρήκε τρίτο στην ιεραρχία. Μετά από μία σεζόν χωρίς δράση, αποφασίστηκε να πάει εκ νέου δανεικός πίσω στην Μέταλατς.

Το ξεκίνημα της αγωνιστικής περιόδου 2012-13 τον βρήκε στην Τελεόπτικ, αλλά ο τραυματισμός του Στοΐνοβιτς, οδήγησε την Παρτιζάν στη λύση του δανεισμού του Ζίβκοβιτς .

Ο Σέρβος κίπερ επέστρεψε και πάλεψε σκληρά για μία θέση στην 11άδα. Παρά τις δυσκολίες δεν το έβαλε κάτω και την άνοιξη του 2015 ήρθε η δικαίωση. Ο Ζίβκο πήρε φανέλα βασικού, έκανε εξαιρετικές εμφανίσεις και κράτησε τη θέση του για περίπου ένα χρόνο, πριν πέσει θύμα της αλλαγής της τεχνικής ηγεσίας.

Το φινάλε της σεζόν 2015-16 ολοκληρώθηκε το συμβόλαιο του με την Παρτιζάν και αποφάσισε να αναζητήσει αλλού την τύχη του. Η πρόταση της Ξάνθης έμοιαζε ιδανική γι αυτόν και έτσι αποδείχθηκε.

Ο Ζίβκοβιτς πέρασε μία γεμάτη τριετία στους Ακρίτες, έπαιξε σε 89 αγώνες και καθιερώθηκε ως ένας από τους κορυφαίους πορτιέρε της χώρας, με εξαιρετικές εμφανίσεις.

Τον Απρίλιο του 2019 ανακοίνωσε μέσω των Social Media ότι δεν θα συνεχίσει στην Ξάνθη. Ο ΠΑΟΚ δεν έχασε την ευκαιρία και τον απέκτησε με ελεύθερη μεταγραφή.