Η οικογένεια Τσόλακ το 1992 εν μέσω πολέμου στη Γιουγκοσλαβία μετανάστευσε στην Γερμανία όπου στις 17 Σεπτεμβρίου του 1993 γεννήθηκε ο Αντόνιο.

Η πρώτη του ποδοσφαιρική εμπειρία ήταν σε ηλικία τεσσάρων ετών όταν κι εντάχθηκε στην Ακαδημία της Φράιμπουργκ. Το 2000 πήγε στους Κίκερς Στουτγάρδης, όπου παρέμεινε για οκτώ χρόνια πριν επιστρέψει στη Φράιμπουργκ το 2008. Από εκεί το 2010 εντάχθηκε στα Τμήματα Υποδομής της Χόφενχάιμ, για ένα μόλις χρόνο και το 2011 πήγε στη δεύτερη ομάδα της Καρλσρούη, όπου και πραγματοποίησε το επαγγελματικό του ντεμπούτο στις μικρές κατηγορίες της Γερμανίας.

Το 2012 αποκτήθηκε από τη Νυρεμβέργη, αρχικά για τη δεύτερη ομάδα, και τον Οκτώβριο του 2013 πραγματοποίησε το ντεμπούτο του στη Bundesliga. Στη Νυρεμβέργη έμεινε μέχρι το 2015, παίζοντας σε επτά αγώνες, ενώ τη μία σεζόν παραχωρήθηκε δανεικός στη Λέγκια Γκντάνσκ, με τη φανέλα της οποίας σε 31 αγώνες σκόραρε 10 φορές και μοίρασε δύο ασίστ.

Το 2015 επέστρεψε στη Χοφενχάιμ από την οποία παραχωρήθηκε δανεικός διαδοχικά σε Καισερσλάουτερν, Ντάρμσταντ και Ίνγκολσταντ. Στην πρώτη και στην τρίτη έπαιξε στη 2.Bundesliga, ενώ με τη Ντάρμσταντ, έπαιξε μία γεμάτη σεζόν στην κορυφαία κατηγορία της Γερμανίας, όπου σε 22 αγώνες είχε τέσσερα γκολ και δύο ασίστ.

Η στιγμή που απογείωσε την καριέρα του ήρθε τον Ιανουάριο του 2018, όταν και παραχωρήθηκε δανεικός στη Ριέκα για 1,5 χρόνο. Στην Κροατία ο Τσόλακ βρήκε την… Ιθάκη του και άρχισε να εντυπωσιάζει με τις επιδόσεις του. Μετά τον δανεισμό του αποκτήθηκε με μεταγραφή το καλοκαίρι του 2019 και μέσα σε 2,5 σεζόν πρόλαβε να σκοράρει 51 φορές σε 90 παιχνίδια ενώ είχε και 15 ασίστ.

Τη σεζόν 2019-20 μάλιστα, αναδείχθηκε πρώτος σκόρερ του κροατικού πρωταθλήματος με 20 γκολ, ενώ με τη Ριέκα κατέκτησε και δύο Κύπελλα Κροατίας. Οι επιδόσεις του τον έφεραν και στην αποστολή της Εθνικής Κροατίας, με την οποία όμως δεν έχει κάνει ακόμα το επίσημο ντεμπούτο του.

Ο Αντόνιο Τσόλακ ήταν η επιλογή των ανθρώπων του ΠΑΟΚ για την κορυφή της επίθεσης με τον Κροάτη να γίνεται κι επίσημα παίκτης του Δικεφάλου για τα επόμενα τέσσερα χρόνια.