Ο Α.Ζίβκοβιτς γεννήθηκε στο Νις της Σερβίας στις 11 Ιουλίου του 1996. Εντάχθηκε στις ακαδημίες της τοπικής Νασιονάλ και με τις επιδόσεις του κατάφερε να εντυπωσιάσει τους μεγάλους της χώρας. Η Παρτιζάν τον απέκτησε το 2009, αρχικά για τα τμήματα υποδομής.

Πραγματοποίησε το ντεμπούτο του με την πρώτη ομάδα στις 28 Απριλίου 2013 κόντρα στη Νόβι Παζάρ. Τον Αύγουστο της ίδιας χρονιάς υπέγραψε το πρώτο του επαγγελματικό συμβόλαιο, ενώ δύο μέρες αργότερα βρήκε για πρώτη φορά δίχτυα.

Βρήκε άμεσα ρόλο στην ομάδα, έγινε βασικός ενώ έφτασε σε σημείο να φορέσει το περιβραχιόνιο του αρχηγού και να γίνει ο μικρότερος captain στην ιστορία της ομάδας.

Παράλληλα, ο νεαρός ποδοσφαιριστής ήταν σημαντικό γρανάζι της Εθνικής Σερβίας U20 που κατέκτησε το Παγκόσμιο Κύπελλο του 2015, ενώ νωρίτερα είχε προλάβει να γίνει ο νεαρότερος παίκτης που αγωνίστηκε με την Εθνική Ανδρών της χώρας, όταν ο Σίνισα Μιχαΐλοβιτς του έδωσε την ευκαιρία σ’ ένα φιλικό παιχνίδι κόντρα στην Ιαπωνία.

Με την Παρτιζάν μέχρι το Φεβρουάριο του 2016 αγωνίστηκε σε 93 παιχνίδια, σκόραρε 24 γκολ, έδωσε 13 ασίστ, ενώ κατέκτησε δύο πρωταθλήματα κι ένα Κύπελλο Σερβίας.

Τον Ιούλιο του 2016 η Μπενφίκα δεν έχασε την ευκαιρία και τον ενέταξε στο δυναμικό της. Στην Πορτογαλία έμεινε τέσσερα χρόνια, έπαιξε σε 88 αγώνες, σκόραρε τέσσερα γκολ, ενώ μοίρασε 24 ασίστ, κατακτώντας παράλληλα δύο πρωταθλήματα κι ένα Κύπελλο. Σε αυτό το διάστημα έγινε βασικό μέλος της Εθνικής Σερβίας και αγωνίστηκε και στο Mundial του 2018.

Ο Δικέφαλος κινήθηκε γρήγορα και μεθοδικά και κατάφερε να κάνει τον Α.Ζίβκοβιτς κάτοικο Θεσσαλονίκης.