Ο Γκρεγκ Τέιλορ γεννήθηκε στις 5 Νοεμβρίου 1997 στο Γκρίνοκ της Σκωτίας και έκανε τα πρώτα του ποδοσφαιρικά βήματα στις ακαδημίες της Ρέιντζερς, προτού ενταχθεί στην Κιλμάρνοκ το 2014. Με την πρώτη ομάδα της Κιλμάρνοκ πραγματοποίησε το επαγγελματικό του ντεμπούτο το 2016 και μέχρι το 2019 κατέγραψε 131 συμμετοχές, ένα γκολ και δέκα ασίστ, αποτελώντας βασικό στέλεχος της ομάδας.

Τον Σεπτέμβριο του 2019 πήρε μεταγραφή στη Σέλτικ και γρήγορα καθιερώθηκε στο αριστερό άκρο της άμυνας. Σε πέντε σεζόν με τη φανέλα των Κελτών, αγωνίστηκε σε 216 αγώνες, πέτυχε εννέα γκολ και μοίρασε 33 ασίστ, ενώ πανηγύρισε πέντε πρωταθλήματα Σκωτίας, τρία Κύπελλα και τρία League Cups, όντας σημαντικό κομμάτι της πιο επιτυχημένης περιόδου της ομάδας την τελευταία δεκαετία.

Σε διεθνές επίπεδο, ο Τέιλορ έχει φορέσει 14 φορές τη φανέλα της εθνικής ομάδας της Σκωτίας από το 2019 μέχρι σήμερα. Έχει επίσης εκπροσωπήσει τη χώρα του στις μικρές εθνικές, συμπεριλαμβανομένων των ομάδων U20 και U21, ενώ ήταν μέλος της αποστολής στο UEFA Euro 2020.